परिचय: मापन में त्रुटि
किसी भी भौतिक राशि के मापन में, उसके वास्तविक मान (True Value) और मापित मान (Measured Value) के बीच के अंतर को मापन में त्रुटि (Error in Measurement) कहते हैं। कोई भी मापन पूर्ण रूप से यथार्थ नहीं हो सकता, उसमें कुछ न कुछ अनिश्चितता अवश्य रहती है।
त्रुटियों के प्रकार
1. क्रमबद्ध त्रुटियाँ (Systematic Errors)
ये वे त्रुटियाँ हैं जो एक ही दिशा में होती हैं, या तो धनात्मक या ऋणात्मक। इनके स्रोत ज्ञात होते हैं और इन्हें कम या दूर किया जा सकता है।
- यंत्रगत त्रुटि (Instrumental Error): उपकरण की बनावट में कमी के कारण, जैसे वर्नियर कैलिपर्स में शून्यांक त्रुटि।
- व्यक्तिगत त्रुटि (Personal Error): प्रेक्षक की लापरवाही या गलत तरीके से पाठ्यांक लेने के कारण।
- बाह्य कारकों के कारण त्रुटि: ताप, दाब, आर्द्रता में परिवर्तन के कारण।
2. यादृच्छिक त्रुटियाँ (Random Errors)
ये वे त्रुटियाँ हैं जो अनियमित रूप से होती हैं और इनके स्रोत अज्ञात होते हैं। ये धनात्मक या ऋणात्मक कुछ भी हो सकती हैं। कई बार पाठ्यांक लेकर उनका माध्य निकालने से इन त्रुटियों को कम किया जा सकता है।
यथार्थता और परिशुद्धता (Accuracy and Precision)
- यथार्थता (Accuracy): यह बताती है कि मापित मान अपने वास्तविक मान के कितना निकट है।
- परिशुद्धता (Precision): यह बताती है कि किसी राशि के विभिन्न मापन एक दूसरे के कितने निकट हैं।
एक अच्छा मापन वह है जो यथार्थ और परिशुद्ध दोनों हो।
त्रुटियों का संयोजन (Combination of Errors)
जब कोई भौतिक राशि दो या दो से अधिक राशियों पर निर्भर करती है, तो अंतिम परिणाम में त्रुटि की गणना निम्न प्रकार से की जाती है:
1. योग में त्रुटि (Error in Sum)
यदि Z = A + B हो, तो Z में अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि:
ΔZ = ΔA + ΔB
2. अंतर में त्रुटि (Error in Difference)
यदि Z = A – B हो, तो Z में अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि:
ΔZ = ΔA + ΔB
(ध्यान दें: त्रुटियाँ हमेशा जुड़ती हैं)
3. गुणनफल में त्रुटि (Error in Product)
यदि Z = A × B हो, तो Z में अधिकतम भिन्नात्मक (आपेक्षिक) त्रुटि:
ΔZ/Z = ΔA/A + ΔB/B
4. भागफल में त्रुटि (Error in Division)
यदि Z = A / B हो, तो Z में अधिकतम भिन्नात्मक त्रुटि:
ΔZ/Z = ΔA/A + ΔB/B
5. घात में त्रुटि (Error in Power)
यदि Z = Aⁿ हो, तो Z में भिन्नात्मक त्रुटि:
ΔZ/Z = n (ΔA/A)
संख्यात्मक उदाहरण
उदाहरण 1: योग और अंतर में त्रुटि
प्रश्न: दो छड़ों की लंबाइयाँ (20.5 ± 0.2) cm और (15.3 ± 0.1) cm हैं। उनके योग और अंतर में त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हल:
योग: L = L₁ + L₂ = 20.5 + 15.3 = 35.8 cm
त्रुटि: ΔL = ΔL₁ + ΔL₂ = 0.2 + 0.1 = 0.3 cm
अतः, कुल लंबाई = (35.8 ± 0.3) cm
अंतर: L’ = L₁ – L₂ = 20.5 – 15.3 = 5.2 cm
त्रुटि: ΔL’ = ΔL₁ + ΔL₂ = 0.2 + 0.1 = 0.3 cm
अतः, लंबाई में अंतर = (5.2 ± 0.3) cm
उदाहरण 2: गुणनफल और घात में त्रुटि
प्रश्न: एक भौतिक राशि P, सूत्र P = a³b² / (c d) द्वारा दी गई है। यदि a, b, c और d के मापन में प्रतिशत त्रुटियाँ क्रमशः 1%, 3%, 4% और 2% हैं, तो P में प्रतिशत त्रुटि क्या होगी?
हल:
सूत्र के अनुसार, P में भिन्नात्मक त्रुटि:
ΔP/P = 3(Δa/a) + 2(Δb/b) + (Δc/c) + (1/2)(Δd/d)
प्रतिशत त्रुटि के लिए 100 से गुणा करने पर:
% त्रुटि (P) = 3(% त्रुटि a) + 2(% त्रुटि b) + (% त्रुटि c) + (1/2)(% त्रुटि d)
% त्रुटि (P) = 3(1%) + 2(3%) + 4% + (1/2)(2%)
% त्रुटि (P) = 3% + 6% + 4% + 1% = 14%