संख्या प्रणाली (Number Systems) | बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल, हेक्साडेसिमल

कंप्यूटर में डेटा का प्रतिनिधित्व करने के लिए विभिन्न संख्या प्रणालियों का उपयोग किया जाता है। प्रत्येक प्रणाली का एक ‘आधार’ (Base or Radix) होता है, जो उस प्रणाली में उपयोग किए जाने वाले कुल अंकों की संख्या को दर्शाता है।

प्रमुख संख्या प्रणालियाँ

बाइनरी (Binary – Base 2)

इसमें केवल दो अंक (0 और 1) होते हैं। कंप्यूटर इसी प्रणाली पर काम करता है क्योंकि इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के लिए दो अवस्थाओं (On/Off) का प्रतिनिधित्व करना आसान होता है।

ऑक्टल (Octal – Base 8)

इसमें आठ अंक (0 से 7) होते हैं। इसका उपयोग प्रोग्रामिंग में बाइनरी संख्याओं को संक्षिप्त रूप में लिखने के लिए किया जाता है।

डेसीमल (Decimal – Base 10)

इसमें दस अंक (0 से 9) होते हैं। यह मानव द्वारा उपयोग की जाने वाली सामान्य प्रणाली है।

हेक्साडेसिमल (Hexadecimal – Base 16)

इसमें सोलह प्रतीक (0-9 और A-F) होते हैं, जहाँ A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, और F=15 होता है। इसका उपयोग मेमोरी एड्रेस और रंग कोड को दर्शाने के लिए किया जाता है।

संख्या प्रणालियों का रूपांतरण (Interconversion)

डेसीमल से बाइनरी (Decimal to Binary)

डेसीमल संख्या को बाइनरी में बदलने के लिए, संख्या को 2 से लगातार तब तक भाग दें जब तक कि भागफल 0 न हो जाए। फिर शेषफलों को नीचे से ऊपर के क्रम में लिखें।

• उदाहरण: (13)₁₀ को बाइनरी में बदलें।
• 13 ÷ 2 = 6 शेष 1
• 6 ÷ 2 = 3 शेष 0
• 3 ÷ 2 = 1 शेष 1
• 1 ÷ 2 = 0 शेष 1
• उत्तर (नीचे से ऊपर): (1101)₂

बाइनरी से डेसीमल (Binary to Decimal)

बाइनरी संख्या के प्रत्येक अंक को उसकी स्थिति के मान (2 की घात) से गुणा करें और फिर सभी को जोड़ दें।

• उदाहरण: (1101)₂ को डेसीमल में बदलें।
• (1 × 2³) + (1 × 2²) + (0 × 2¹) + (1 × 2⁰)
• = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
• उत्तर: (13)₁₀

बाइनरी से ऑक्टल (Binary to Octal)

बाइनरी संख्या के अंकों को दाईं ओर से 3-3 के समूह में विभाजित करें। यदि आवश्यक हो तो अंतिम समूह को पूरा करने के लिए बाईं ओर शून्य जोड़ें। प्रत्येक समूह का डेसीमल मान लिखें।

• उदाहरण: (10110111)₂ को ऑक्टल में बदलें।
• 1. समूह बनाना: `10 110 111`
• 2. समूह पूरा करना: `010 110 111`
• 3. प्रत्येक समूह को बदलना:
  • `010` → 2
  • `110` → 6
  • `111` → 7
• उत्तर: (267)₈

बाइनरी से हेक्साडेसिमल (Binary to Hexadecimal)

बाइनरी संख्या के अंकों को दाईं ओर से 4-4 के समूह में विभाजित करें। यदि आवश्यक हो तो अंतिम समूह को पूरा करने के लिए बाईं ओर शून्य जोड़ें। प्रत्येक समूह का हेक्साडेसिमल मान लिखें।

• उदाहरण: (10110111)₂ को हेक्साडेसिमल में बदलें।
• 1. समूह बनाना: `1011 0111`
• 2. प्रत्येक समूह को बदलना:
  • `1011` → 11 → B
  • `0111` → 7 → 7
• उत्तर: (B7)₁₆