परिचय: पलायन वेग (Escape Velocity)
पलायन वेग वह न्यूनतम वेग है जिससे किसी पिंड को किसी ग्रह या अन्य खगोलीय पिंड की सतह से ऊपर की ओर फेंकने पर वह उसके गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को पार कर जाता है और कभी वापस नहीं लौटता।
- यह वह वेग है जिस पर पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज + स्थितिज) शून्य हो जाती है।
- पृथ्वी की सतह पर पलायन वेग का मान लगभग 11.2 km/s है।
पलायन वेग का सूत्र और व्युत्पत्ति
पलायन वेग की गणना ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करके की जाती है।
सूत्र की व्युत्पत्ति
मान लीजिए M द्रव्यमान और R त्रिज्या के एक ग्रह की सतह से m द्रव्यमान के एक पिंड को पलायन वेग (vₑ) से फेंका जाता है।
सतह पर पिंड की कुल ऊर्जा (Eᵢ):
गतिज ऊर्जा (KE) = ½mvₑ²
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा (PE) = -GMm/R
Eᵢ = KE + PE = ½mvₑ² – GMm/R
पिंड को गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से ठीक बाहर निकलने के लिए (अनंत पर), उसकी कुल ऊर्जा शून्य होनी चाहिए।
अनंत पर कुल ऊर्जा (Eբ) = 0
ऊर्जा संरक्षण के नियम से, Eᵢ = Eբ
½mvₑ² – GMm/R = 0
½mvₑ² = GMm/R
vₑ² = 2GM/R
vₑ = √(2GM/R)
चूंकि g = GM/R², तो GM = gR². यह मान रखने पर:
vₑ = √(2gR)
पलायन वेग की निर्भरता
पलायन वेग निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
- ग्रह का द्रव्यमान (M)
- ग्रह की त्रिज्या (R)
- गुरुत्वीय त्वरण (g)
यह फेंके जाने वाले पिंड के द्रव्यमान (m), आकार या प्रक्षेपण की दिशा पर निर्भर नहीं करता है।
संख्यात्मक उदाहरण
उदाहरण
प्रश्न: चंद्रमा की सतह पर पलायन वेग की गणना करें। दिया है: चंद्रमा का द्रव्यमान (M) = 7.34 × 10²² kg और त्रिज्या (R) = 1.74 × 10⁶ m.
हल:
दिया है:
M = 7.34 × 10²² kg
R = 1.74 × 10⁶ m
G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
सूत्र: vₑ = √(2GM/R)
vₑ = √[ (2 × 6.67 × 10⁻¹¹ × 7.34 × 10²²) / (1.74 × 10⁶) ]
vₑ = √[ (97.92 × 10¹¹) / (1.74 × 10⁶) ]
vₑ = √[ 56.27 × 10⁵ ] = √[ 562.7 × 10⁴ ]
vₑ ≈ 23.7 × 10² m/s = 2370 m/s
vₑ ≈ 2.37 km/s