1. गॉस का प्रमेय क्या है? (What is Gauss’s Theorem?)

गॉस का प्रमेय (Gauss’s Theorem) विद्युत क्षेत्र और सतही फ्लक्स के बीच संबंध स्थापित करता है। यह प्रमेय कहता है कि किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस सतह के अंदर स्थित कुल आवेश के बराबर होता है, विभाजित करके ε₀ से:

Φ = Q / ε₀

जहाँ:

• Φ

  = कुल विद्युत फ्लक्स (Electric Flux)

• Q

  = बंद सतह के अंदर कुल आवेश (Total Charge Enclosed)

• ε₀

  = मुक्त स्थान का विद्युत स्थिरांक (Permittivity of Free Space = 8.854 × 10^-12 C²/N·m²)

2. गॉस के प्रमेय का गणितीय स्वरूप (Mathematical Expression of Gauss’s Theorem)

गॉस के प्रमेय को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

∮E · dA = Q / ε₀

जहाँ:

• E

  = विद्युत क्षेत्र (Electric Field)

• dA

  = सतह का छोटे क्षेत्र का वेक्टर (Small Area Vector)

• ∮

  = बंद सतह के चारों ओर समाकलन (Integration Over Closed Surface)

3. गॉस के प्रमेय की उपयोगिता (Applications of Gauss’s Theorem)

• समान आवेश वितरण: गॉस का प्रमेय समान आवेश वितरण (सपाट सतह, गोलाकार सतह आदि) के विद्युत क्षेत्र की गणना में सहायक है।
• विद्युत क्षेत्र की सरल गणना: गॉस के प्रमेय का उपयोग जटिल आकृतियों के विद्युत क्षेत्र को आसानी से निकालने में किया जाता है।
• कुल फ्लक्स: यह सतह के माध्यम से कुल विद्युत फ्लक्स का निर्धारण करने के लिए उपयोगी है।

4. उदाहरण (Example)

मान लें कि एक गोले के अंदर कुल आवेश Q = 5 μC स्थित है। इस गोले की सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स ज्ञात करें:

Φ = Q / ε₀

यहाँ:

• Q

  = 5 × 10^-6 C

• ε₀

  = 8.854 × 10^-12 C²/N·m²

Φ = (5 × 10^-6) / (8.854 × 10^-12)

Φ ≈ 5.65 × 10⁵ N·m²/C

अतः, कुल विद्युत फ्लक्स 5.65 × 10⁵ N·m²/C है।