1. जड़त्व आघूर्ण का परिचय (Introduction to Moment of Inertia)

जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia) किसी वस्तु के घूर्णी गति के प्रति उसके प्रतिरोध को दर्शाता है। इसे घूर्णी जड़त्व भी कहा जाता है। यह उस वस्तु के द्रव्यमान और उस द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है कि वह घूर्णन अक्ष से कितनी दूरी पर स्थित है। जड़त्व आघूर्ण को I द्वारा दर्शाया जाता है।

2. जड़त्व आघूर्ण का सूत्र (Formula of Moment of Inertia)

जड़त्व आघूर्ण को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

I = Σm_ir_i²

जहाँ I जड़त्व आघूर्ण है, m_i वस्तु के विभिन्न कणों का द्रव्यमान है, और r_i उस कण की घूर्णन अक्ष से दूरी है।

3. जड़त्व आघूर्ण के विभिन्न आकृतियों के लिए मान (Moments of Inertia for Different Shapes)

• ठोस गोलाकार (Solid Sphere): I = (2/5)MR²
• खाली गोलाकार खोल (Hollow Sphere): I = (2/3)MR²
• ठोस बेलन (Solid Cylinder): I = (1/2)MR²
• पतला छड़ (Thin Rod) केंद्र के चारों ओर: I = (1/12)ML²
• पतला छड़ (Thin Rod) सिरे के चारों ओर: I = (1/3)ML²

यहाँ M द्रव्यमान है, R त्रिज्या है, और L छड़ की लंबाई है।

4. जड़त्व आघूर्ण का महत्व (Importance of Moment of Inertia)

जड़त्व आघूर्ण का महत्व घूर्णी गतियों के अध्ययन में अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह किसी वस्तु की घूर्णन की प्रवृत्ति को समझने में सहायक होता है। जितना अधिक जड़त्व आघूर्ण होगा, उतना अधिक बल आवश्यक होगा घूर्णन उत्पन्न करने के लिए।

5. उदाहरण (Example)

मान लें कि 2 किलोग्राम का एक पतला छड़ 4 मीटर लंबा है और इसे उसके केंद्र से घुमाया जा रहा है।

छड़ के केंद्र से घूर्णन के लिए:

I = (1/12)ML² = (1/12) × 2 × (4)² = (1/12) × 2 × 16 = 32/12 = 2.67 kg·m²