परिचय: जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia)
जड़त्व आघूर्ण घूर्णी गति में वही भूमिका निभाता है जो रेखीय गति में द्रव्यमान निभाता है। यह किसी वस्तु की अपनी घूर्णन अवस्था में परिवर्तन के प्रति प्रतिरोध की माप है। इसे I से दर्शाया जाता है।
- किसी कण का जड़त्व आघूर्ण उसके द्रव्यमान (m) और घूर्णन अक्ष से उसकी दूरी (r) के वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।
- सूत्र: I = mr²
- इसका SI मात्रक kg·m² है।
जड़त्व आघूर्ण की निर्भरता
किसी वस्तु का जड़त्व आघूर्ण निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
- वस्तु का द्रव्यमान (Mass)
- घूर्णन अक्ष की स्थिति (Position of the axis of rotation)
- घूर्णन अक्ष के परितः द्रव्यमान का वितरण (Distribution of mass about the axis)
घूर्णन त्रिज्या (Radius of Gyration)
घूर्णन त्रिज्या (K) घूर्णन अक्ष से वह दूरी है जहाँ वस्तु के संपूर्ण द्रव्यमान को केंद्रित माना जा सकता है ताकि उस अक्ष के परितः वस्तु का जड़त्व आघूर्ण वही रहे।
घूर्णन त्रिज्या का सूत्र
यदि M वस्तु का कुल द्रव्यमान है, तो
I = MK²
अतः, K = √(I/M)
जड़त्व आघूर्ण की प्रमेय (Theorems of Moment of Inertia)
1. समांतर अक्षों की प्रमेय (Theorem of Parallel Axes)
इस प्रमेय के अनुसार, किसी भी अक्ष के परितः एक वस्तु का जड़त्व आघूर्ण (I), उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (Iₙ) और वस्तु के द्रव्यमान (M) तथा दोनों अक्षों के बीच की लंबवत दूरी (d) के वर्ग के गुणनफल के योग के बराबर होता है।
- सूत्र: I = Iₙ + Md²
2. लंबवत अक्षों की प्रमेय (Theorem of Perpendicular Axes)
यह प्रमेय केवल समतल पटल (planar bodies) के लिए लागू होती है। इसके अनुसार, पटल के तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों (x और y) के परितः जड़त्व आघूर्णों का योग, उन अक्षों के कटान बिंदु से होकर जाने वाली और पटल के तल के लंबवत अक्ष (z) के परितः जड़त्व आघूर्ण के बराबर होता है।
- सूत्र: I₂ = Iₓ + Iᵧ
विभिन्न आकृतियों के लिए जड़त्व आघूर्ण (Moments of Inertia for Different Shapes)
| वस्तु | घूर्णन अक्ष | जड़त्व आघूर्ण (I) |
|---|---|---|
| पतली छड़ | केंद्र से गुजरती और लंबाई के लंबवत | ML²/12 |
| रिंग (वलय) | केंद्र से गुजरती और तल के लंबवत | MR² |
| डिस्क (चकती) | केंद्र से गुजरती और तल के लंबवत | MR²/2 |
| ठोस गोला | व्यास के परितः | 2/5 MR² |
| खोखला गोला | व्यास के परितः | 2/3 MR² |
संख्यात्मक उदाहरण
उदाहरण
प्रश्न: 2 kg द्रव्यमान और 0.5 m त्रिज्या की एक ठोस चकती (डिस्क) अपने केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः घूम रही है। इसका जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: M = 2 kg, R = 0.5 m
डिस्क के लिए जड़त्व आघूर्ण का सूत्र है: I = MR²/2
I = (2 kg) × (0.5 m)² / 2
I = 1 × (0.25) kg·m²
I = 0.25 kg·m²