1. समांतर अक्ष प्रमेय (Parallel Axes Theorem)

समांतर अक्ष प्रमेय कहता है कि यदि किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण I_CM एक अक्ष के बारे में ज्ञात हो, जो उसके द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरता है, तो उस पिंड का जड़त्व आघूर्ण एक अन्य अक्ष के बारे में, जो समानांतर है और d दूरी पर है, इस प्रकार से दिया जा सकता है:

I = I_CM + Md²

जहाँ:

• I = समांतर अक्ष के बारे में जड़त्व आघूर्ण
• I_CM = द्रव्यमान केंद्र के बारे में जड़त्व आघूर्ण
• M = पिंड का कुल द्रव्यमान
• d = दो अक्षों के बीच की दूरी

2. लम्बवत अक्ष प्रमेय (Perpendicular Axes Theorem)

लम्बवत अक्ष प्रमेय दो-आयामी पिंडों के लिए लागू होता है। यह कहता है कि यदि किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण दो लम्बवत अक्षों I_x और I_y के बारे में ज्ञात हो, जो पिंड के तल में हैं, तो तीसरे अक्ष I_z के बारे में, जो इन दोनों अक्षों पर लम्बवत है, इस प्रकार से दिया जा सकता है:

I_z = I_x + I_y

यह प्रमेय केवल तल में स्थित पिंडों के लिए मान्य है, जैसे पतले चपटे डिस्क, प्लेट, आदि।

3. उदाहरण (Examples)

समांतर अक्ष प्रमेय का उदाहरण

मान लें कि एक पतली छड़ का जड़त्व आघूर्ण उसके केंद्र के बारे में I_CM = (1/12)ML² है। यदि हम इसे एक सिरे के चारों ओर घुमाएं, तो जड़त्व आघूर्ण होगा:

I = I_CM + Md² = (1/12)ML² + M(L/2)² = (1/3)ML²

लम्बवत अक्ष प्रमेय का उदाहरण

एक पतली डिस्क के लिए, यदि x और y अक्षों के चारों ओर जड़त्व आघूर्ण क्रमशः I_x = (1/4)MR² और I_y = (1/4)MR² हैं, तो z-अक्ष के चारों ओर जड़त्व आघूर्ण होगा:

I_z = I_x + I_y = (1/4)MR² + (1/4)MR² = (1/2)MR²