परिचय: घूर्णन त्रिज्या (Radius of Gyration)
घूर्णन त्रिज्या किसी घूर्णन अक्ष के परितः एक पिंड के द्रव्यमान के वितरण की माप है। इसे उस अक्ष से एक ऐसी दूरी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ यदि पिंड का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित कर दिया जाए, तो उसका जड़त्व आघूर्ण वास्तविक द्रव्यमान वितरण के जड़त्व आघूर्ण के बराबर हो।
- इसे K से दर्शाया जाता है।
- यह दर्शाता है कि किसी वस्तु का द्रव्यमान उसके घूर्णन अक्ष से औसतन कितनी दूर वितरित है।
- इसका SI मात्रक मीटर (m) है।
घूर्णन त्रिज्या का सूत्र और व्युत्पत्ति
घूर्णन त्रिज्या की परिभाषा के अनुसार, किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण (I) उसके कुल द्रव्यमान (M) और घूर्णन त्रिज्या (K) के वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।
सूत्र
I = MK²
इस समीकरण को K के लिए हल करने पर:
K = √(I/M)
व्युत्पत्ति:
मान लीजिए एक पिंड n कणों से मिलकर बना है, जिनके द्रव्यमान m₁, m₂, …, mₙ हैं और घूर्णन अक्ष से उनकी दूरियाँ क्रमशः r₁, r₂, …, rₙ हैं।
पिंड का कुल जड़त्व आघूर्ण, I = m₁r₁² + m₂r₂² + … + mₙrₙ² = Σmr²
यदि सभी कणों का द्रव्यमान समान (m) हो, तो कुल द्रव्यमान M = nm.
I = m(r₁² + r₂² + … + rₙ²)
I = (M/n)(r₁² + r₂² + … + rₙ²)
I = M * [(r₁² + r₂² + … + rₙ²)/n]
परिभाषा से, I = MK². दोनों की तुलना करने पर:
K² = (r₁² + r₂² + … + rₙ²)/n
K, घूर्णन अक्ष से कणों की दूरियों का वर्ग माध्य मूल (root mean square) मान है।
घूर्णन त्रिज्या की निर्भरता
घूर्णन त्रिज्या निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करती है:
- घूर्णन अक्ष की स्थिति और अभिविन्यास पर।
- पिंड के आकार और आकृति पर।
- घूर्णन अक्ष के परितः द्रव्यमान के वितरण पर।
- यह पिंड के कुल द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।
विभिन्न आकृतियों के लिए घूर्णन त्रिज्या (Radius of Gyration for Different Shapes)
| वस्तु (Shape) | घूर्णन अक्ष | घूर्णन त्रिज्या (K) |
|---|---|---|
| पतली छड़ | केंद्र से गुजरती और लंबाई के लंबवत | L / √(12) |
| रिंग (वलय) | केंद्र से गुजरती और तल के लंबवत | R |
| डिस्क (चकती) | केंद्र से गुजरती और तल के लंबवत | R / √2 |
| ठोस गोला | व्यास के परितः | R√(2/5) |
| खोखला गोला | व्यास के परितः | R√(2/3) |
संख्यात्मक उदाहरण
उदाहरण
प्रश्न: 10 kg द्रव्यमान की एक ठोस चकती (डिस्क) का जड़त्व आघूर्ण उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः 0.8 kg·m² है। इसकी घूर्णन त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: M = 10 kg, I = 0.8 kg·m²
घूर्णन त्रिज्या का सूत्र है: K = √(I/M)
K = √(0.8 / 10)
K = √(0.08)
K = √(8 / 100) = (2√2) / 10 = √2 / 5
K ≈ 1.414 / 5 ≈ 0.283 m