परिचय: गति, दूरी और विस्थापन
जब कोई वस्तु समय के साथ अपनी स्थिति बदलती है, तो उसे गति (Motion) में कहा जाता है।
- दूरी (Distance): किसी वस्तु द्वारा तय किए गए पथ की कुल लंबाई। यह एक अदिश राशि है।
- विस्थापन (Displacement): वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी। यह एक सदिश राशि है।
गति के प्रकार
1. एकसमान गति (Uniform Motion)
जब कोई वस्तु समान समय अंतराल में समान दूरी तय करती है, तो उसकी गति को एकसमान गति कहते हैं।
- इसमें वस्तु का वेग (Velocity) नियत रहता है।
- इसका त्वरण (Acceleration) शून्य होता है।
- दूरी-समय ग्राफ एक सीधी रेखा होती है।
2. असमान गति (Non-uniform Motion)
जब कोई वस्तु समान समय अंतराल में भिन्न-भिन्न दूरियाँ तय करती है, तो उसकी गति को असमान गति कहते हैं।
- इसमें वस्तु का वेग बदलता रहता है।
- यह एक त्वरित गति हो सकती है (त्वरण शून्य नहीं होता)।
- दूरी-समय ग्राफ एक वक्र (curved line) होता है।
चाल, वेग और त्वरण
- चाल (Speed): इकाई समय में तय की गई दूरी। (चाल = दूरी / समय)। यह एक अदिश राशि है।
- वेग (Velocity): इकाई समय में हुआ विस्थापन। (वेग = विस्थापन / समय)। यह एक सदिश राशि है।
- त्वरण (Acceleration): वेग में परिवर्तन की दर। (त्वरण = वेग में परिवर्तन / समय)। इसका SI मात्रक m/s² है।
एकसमान त्वरित गति के समीकरण (Equations of Motion)
जब कोई वस्तु एक सीधी रेखा में एकसमान त्वरण से चलती है, तो उसकी गति का वर्णन तीन समीकरणों द्वारा किया जा सकता है। यहाँ, u = प्रारंभिक वेग, v = अंतिम वेग, a = त्वरण, t = समय, s = विस्थापन।
1. प्रथम समीकरण: v = u + at
व्युत्पत्ति: त्वरण की परिभाषा से,
a = (अंतिम वेग – प्रारंभिक वेग) / समय = (v – u) / t
at = v – u
v = u + at
2. द्वितीय समीकरण: s = ut + ½at²
व्युत्पत्ति: हम जानते हैं, दूरी = औसत वेग × समय
s = [(u + v)/2] × t
पहले समीकरण से v = u + at का मान रखने पर,
s = [(u + u + at)/2] × t = [(2u + at)/2] × t
s = (u + ½at) × t
s = ut + ½at²
3. तृतीय समीकरण: v² = u² + 2as
व्युत्पत्ति: पहले समीकरण (v = u + at) से, t = (v – u)/a
इस मान को दूसरे समीकरण (s = ut + ½at²) में रखने पर,
s = u[(v-u)/a] + ½a[(v-u)/a]²
2as = 2u(v-u) + (v-u)²
2as = 2uv – 2u² + v² + u² – 2uv
2as = v² – u²
v² = u² + 2as
संख्यात्मक उदाहरण
उदाहरण
प्रश्न: एक ट्रेन विरामावस्था से चलना प्रारंभ करती है और 5 मिनट में 72 km/h का वेग प्राप्त कर लेती है। यदि त्वरण एकसमान है, तो (a) त्वरण और (b) इस वेग को प्राप्त करने के लिए तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: u = 0 (विरामावस्था से), t = 5 min = 300 s
v = 72 km/h = 72 × (5/18) = 20 m/s
(a) त्वरण (a):
v = u + at
20 = 0 + a × 300
a = 20 / 300 = 1/15 m/s²
(b) दूरी (s):
v² = u² + 2as
(20)² = (0)² + 2 × (1/15) × s
400 = (2/15)s
s = (400 × 15) / 2 = 3000 m = 3 km