परिचय: अदिश और सदिश राशियाँ
भौतिक राशियों को उनकी दिशा और परिमाण के आधार पर दो मुख्य वर्गों में बांटा गया है: अदिश राशियाँ और सदिश राशियाँ।
अदिश राशि (Scalar Quantity)
वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए केवल परिमाण (magnitude) की आवश्यकता होती है, दिशा की नहीं। इन्हें सामान्य बीजगणितीय नियमों से जोड़ा या घटाया जा सकता है।
- उदाहरण: दूरी, चाल, द्रव्यमान, आयतन, समय, तापमान, कार्य, ऊर्जा।
सदिश राशि (Vector Quantity)
वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है। ये सदिश योग के नियमों का पालन करती हैं।
- उदाहरण: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग, बल आघूर्ण।
सदिशों का योग (Vector Addition)
सदिशों को सामान्य बीजगणित से नहीं जोड़ा जा सकता। इनके लिए विशेष नियमों का उपयोग किया जाता है:
1. सदिश योग का त्रिभुज नियम (Triangle Law)
यदि दो सदिशों को परिमाण और दिशा में एक त्रिभुज की दो क्रमागत भुजाओं द्वारा निरूपित किया जाए, तो उनका परिणामी सदिश परिमाण और दिशा में त्रिभुज की तीसरी भुजा द्वारा विपरीत क्रम में निरूपित होगा।
2. सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम (Parallelogram Law)
यदि दो सदिशों को परिमाण और दिशा में एक समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा निरूपित किया जाए, तो उनका परिणामी सदिश परिमाण और दिशा में उस विकर्ण द्वारा निरूपित होगा जो उन भुजाओं के कटान बिंदु से होकर जाता है।
परिणामी सदिश का परिमाण और दिशा
यदि दो सदिश A और B के बीच का कोण θ हो, तो उनके परिणामी सदिश R का परिमाण:
R = √(A² + B² + 2ABcosθ)
यदि परिणामी सदिश R, सदिश A के साथ α कोण बनाता है, तो:
tanα = (Bsinθ) / (A + Bcosθ)
सदिशों का गुणनफल (Product of Vectors)
दो सदिशों का गुणनफल दो प्रकार का होता है:
1. अदिश गुणनफल (Scalar or Dot Product)
दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक अदिश राशि होता है। इसे (·) चिह्न से दर्शाते हैं।
- सूत्र: A · B = ABcosθ
- उदाहरण: कार्य (W) = बल (F) · विस्थापन (s) = Fscosθ
- यदि दो सदिश लंबवत (θ = 90°) हों, तो उनका डॉट प्रोडक्ट शून्य होता है।
2. सदिश गुणनफल (Vector or Cross Product)
दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश राशि होता है। इसकी दिशा दोनों सदिशों के तल के लंबवत होती है (दाहिने हाथ के नियम से)। इसे (×) चिह्न से दर्शाते हैं।
- सूत्र: A × B = ABsinθ n̂, जहाँ n̂ परिणामी सदिश की दिशा में एकांक सदिश है।
- उदाहरण: बल आघूर्ण (τ) = r × F
- यदि दो सदिश समांतर (θ = 0°) हों, तो उनका क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है।
संख्यात्मक उदाहरण
उदाहरण
प्रश्न: दो बल, 6 N और 8 N, एक दूसरे से 60° के कोण पर कार्य कर रहे हैं। उनके परिणामी बल का परिमाण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: A = 6 N, B = 8 N, θ = 60°
cos60° = 1/2
परिणामी का सूत्र: R = √(A² + B² + 2ABcosθ)
R = √(6² + 8² + 2 × 6 × 8 × cos60°)
R = √(36 + 64 + 96 × 1/2)
R = √(100 + 48)
R = √148 ≈ 12.16 N