सदिशों का योग (Addition of Vectors)
सदिशों को ज्यामितीय रूप से (त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा) या घटकों के रूप में जोड़ा जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज नियम
यदि दो सदिश A और B के बीच का कोण θ हो, तो उनके परिणामी सदिश R का परिमाण:
R = √(A² + B² + 2ABcosθ)
घटकों के रूप में योग
यदि A = Aₓî + Aᵧĵ + A₂k̂ और B = Bₓî + Bᵧĵ + B₂k̂ हो, तो
R = A + B = (Aₓ + Bₓ)î + (Aᵧ + Bᵧ)ĵ + (A₂ + B₂)k̂
सदिशों का घटाव (Subtraction of Vectors)
एक सदिश को दूसरे से घटाना वास्तव में पहले सदिश में दूसरे के ऋणात्मक सदिश को जोड़ने के बराबर है।
A – B = A + (-B)
यहाँ -B वह सदिश है जिसका परिमाण B के बराबर है लेकिन दिशा विपरीत है।
परिणामी का परिमाण
घटाव के लिए, A और -B के बीच का कोण (180° – θ) होगा।
R = √(A² + B² + 2ABcos(180°-θ))
चूंकि cos(180°-θ) = -cosθ, तो
R = √(A² + B² – 2ABcosθ)
सदिशों का गुणनफल (Multiplication of Vectors)
1. अदिश गुणनफल (Scalar or Dot Product)
दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक अदिश राशि होता है।
- सूत्र: A · B = ABcosθ
- घटकों के रूप में: A · B = AₓBₓ + AᵧBᵧ + A₂B₂
- गुणधर्म: यह क्रमविनिमेय है (A · B = B · A)।
- लांबिक एकांक सदिशों के लिए: î·î = ĵ·ĵ = k̂·k̂ = 1 और î·ĵ = ĵ·k̂ = k̂·î = 0.
2. सदिश गुणनफल (Vector or Cross Product)
दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश राशि होता है, जिसकी दिशा दोनों सदिशों के तल के लंबवत होती है।
- परिमाण: |A × B| = ABsinθ
- घटकों के रूप में (सारणिक विधि):
A × B =
= î(AᵧB₂ – A₂Bᵧ) – ĵ(AₓB₂ – A₂Bₓ) + k̂(AₓBᵧ – AᵧBₓ)î ĵ k̂ Aₓ Aᵧ A₂ Bₓ Bᵧ B₂ - गुणधर्म: यह क्रमविनिमेय नहीं है (A × B = – B × A)।
संख्यात्मक उदाहरण
उदाहरण
प्रश्न: यदि सदिश A = 2î + 3ĵ + k̂ और B = 3î – ĵ + 2k̂ हैं, तो A · B और A × B ज्ञात कीजिए।
हल:
1. अदिश गुणनफल (A · B):
A · B = AₓBₓ + AᵧBᵧ + A₂B₂
A · B = (2)(3) + (3)(-1) + (1)(2)
A · B = 6 – 3 + 2 = 5
2. सदिश गुणनफल (A × B):
A × B = î((3)(2) – (1)(-1)) – ĵ((2)(2) – (1)(3)) + k̂((2)(-1) – (3)(3))
A × B = î(6 + 1) – ĵ(4 – 3) + k̂(-2 – 9)
A × B = 7î – ĵ – 11k̂