1. सदिशों का योग (Addition of Vectors)

सदिशों का योग दो या दो से अधिक सदिशों को जोड़कर एक परिणामी सदिश प्राप्त करने की प्रक्रिया है। यह प्रक्रिया त्रिभुज या समानांतर चतुर्भुज नियमों द्वारा की जा सकती है।

त्रिभुज नियम (Triangle Law)

यदि दो सदिश A और B को जोड़ना हो, तो त्रिभुज नियम के अनुसार, दोनों सदिशों को क्रम में एक के बाद एक रखा जाता है। पहला सदिश A और उसके अंत बिंदु पर दूसरा सदिश B रखा जाता है। प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का सदिश परिणामी सदिश R कहलाता है।

R = A + B

समानांतर चतुर्भुज नियम (Parallelogram Law)

समानांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, यदि दो सदिशों को एक ही प्रारंभ बिंदु से खींचा जाए और उन पर एक समानांतर चतुर्भुज बने, तो समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण को परिणामी सदिश कहा जाता है।

2. सदिशों का अंतर (Subtraction of Vectors)

सदिशों का अंतर एक सदिश से दूसरे सदिश को घटाने की प्रक्रिया है। इसे A – B के रूप में लिखा जाता है, जो वास्तव में A + (-B) है, जहाँ -B का मतलब सदिश B का विपरीत दिशा में सदिश है।

A – B = A + (-B)

3. सदिशों का गुणा (Multiplication of Vectors)

सदिशों का गुणा दो प्रकार का होता है: डॉट गुणा (Dot Product) और क्रॉस गुणा (Cross Product)।

डॉट गुणा (Dot Product)

डॉट गुणा दो सदिशों का स्केलर गुणा होता है, जिसे A · B से दर्शाया जाता है। इसका परिमाण |A| |B| cos θ होता है, जहाँ θ दो सदिशों के बीच का कोण है।

A · B = |A| |B| cos θ

डॉट गुणा का परिणाम एक अदिश (Scalar) होता है, न कि सदिश। इसका उपयोग काम (Work) और ऊर्जा में होता है।

क्रॉस गुणा (Cross Product)

क्रॉस गुणा दो सदिशों का सदिश गुणा होता है, जिसे A × B से दर्शाया जाता है। इसका परिमाण |A| |B| sin θ होता है और यह एक नए सदिश की दिशा में होता है, जो A और B के समकोण पर होता है।

A × B = |A| |B| sin θ n̂

जहाँ n̂ वह एकक सदिश है जो A और B के समकोण पर दिशा को दर्शाता है। क्रॉस गुणा का उपयोग बल (Force) और टॉर्क (Torque) में होता है।

4. उदाहरण (Examples)

• सदिश योग: यदि A = 3î + 4ĵ और B = î + 2ĵ, तो A + B = (3 + 1)î + (4 + 2)ĵ = 4î + 6ĵ
• सदिश अंतर: यदि A = 3î + 4ĵ और B = î + 2ĵ, तो A – B = (3 – 1)î + (4 – 2)ĵ = 2î + 2ĵ
• डॉट गुणा: यदि |A| = 5, |B| = 3, और θ = 60°, तो A · B = 5 × 3 × cos 60° = 7.5
• क्रॉस गुणा: यदि |A| = 5, |B| = 3, और θ = 90°, तो A × B = 5 × 3 × sin 90° = 15 n̂