परिचय: सदिश का वियोजन
सदिश का वियोजन (Resolution of a Vector) एक सदिश को दो या दो से अधिक सदिशों में विभाजित करने की प्रक्रिया है, जिनका संयुक्त प्रभाव मूल सदिश के बराबर होता है। इन विभाजित सदिशों को मूल सदिश के घटक (Components) कहा जाता है।
यह प्रक्रिया सदिशों के योग के विपरीत है। भौतिकी में समस्याओं को सरल बनाने के लिए किसी सदिश को उसके परस्पर लंबवत घटकों में वियोजित करना सबसे उपयोगी होता है।
एक समतल में आयताकार घटक (Rectangular Components)
जब किसी सदिश को दो परस्पर लंबवत दिशाओं (जैसे x-अक्ष और y-अक्ष) में वियोजित किया जाता है, तो इन घटकों को आयताकार घटक कहते हैं।
- मान लीजिए एक सदिश A है जो x-अक्ष के साथ θ कोण बनाता है।
- x-अक्ष के अनुदिश इसका घटक Aₓ (क्षैतिज घटक) कहलाता है।
- y-अक्ष के अनुदिश इसका घटक Aᵧ (ऊर्ध्वाधर घटक) कहलाता है।
- सदिश योग के नियम से, A = Aₓ + Aᵧ
घटकों के सूत्र की व्युत्पत्ति
एक समकोण त्रिभुज की कल्पना करें जिसमें कर्ण सदिश A हो, आधार Aₓ हो, और लंब Aᵧ हो।
घटकों का परिमाण
त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर:
cosθ = आधार / कर्ण = Aₓ / A
अतः, क्षैतिज घटक: Aₓ = Acosθ
sinθ = लंब / कर्ण = Aᵧ / A
अतः, ऊर्ध्वाधर घटक: Aᵧ = Asinθ
घटकों से मूल सदिश ज्ञात करना
यदि हमें घटक Aₓ और Aᵧ ज्ञात हों, तो हम मूल सदिश का परिमाण और दिशा ज्ञात कर सकते हैं:
पाइथागोरस प्रमेय से:
A = √(Aₓ² + Aᵧ²)
दिशा के लिए:
tanθ = Aᵧ / Aₓ
संख्यात्मक उदाहरण
उदाहरण
प्रश्न: एक 10 N का बल क्षैतिज से 30° के कोण पर कार्य कर रहा है। इसके क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक ज्ञात कीजिए। (दिया है: sin30° = 1/2, cos30° = √3/2)
हल:
दिया है: F = 10 N, θ = 30°
क्षैतिज घटक (Fₓ):
Fₓ = Fcosθ
Fₓ = 10 × cos30°
Fₓ = 10 × (√3 / 2)
Fₓ = 5√3 N
ऊर्ध्वाधर घटक (Fᵧ):
Fᵧ = Fsinθ
Fᵧ = 10 × sin30°
Fᵧ = 10 × (1/2)
Fᵧ = 5 N